L'Orgue de Barbarie en essais et calculs

Je n'ai pas trouvé de formule pour calculer le débit d'air à travers une fente, à partir de ses caractéristiques géométriques. Les formules existantes concernent les débits pour des « trous circulaires sans épaisseur »  ou bien sont génériques. Toutes prévoient l'adjonction d'un « coefficient de forme » dont on ne sait rien.

Il faut donc déterminer celui-ci (de nombreux essais préalables m'ont convaincu de cette nécessité).

1  Les formules existantes :

1.1  Formule générique

La vitesse de l'air qui quitte l'orifice est donnée par la formule :

                        V  =  ( 2  *  P  /  ρ ) ^ 0,5

             V est la vitesse de l'air quittant l'orifice

             ρ est la masse volumique (densité) de l 'air (1,2 kg/m3 à 20° C)

             P est la pression

Le débit est égal à la section concernée, multipliée par la vitesse

                               Q =   S * [( 2 * P / ρ ) ^ 0,5]

           Q est le débit

           S est la surface de l'orifice

           P est la pression d'air

Équation aux dimensions :

Le système d'unités européen ou plus exactement Système International (SI) a été étudié pour éviter dans les formules de calcul d'avoir à introduire des coefficients d'adaptation des unités. Il ramène toute grandeur mesurée aux grandeurs fondamentales et donc aux unités de base.Dans la formule ci dessus, cela donne :

              S ( la surface de l'orifice ): en m²     

              P ( la pression d'air ) en Pascals, soit en Newtons / mètres carrés : N * m^-2

Le Newton est une unité de force, soit une masse  multipliée par une accélération ; une masse s'exprime en kilogramme, une accélération en mètre par seconde, par seconde ( kg * m / s ²    ou     kg * m * s ^-2 ) ce qui donne pour la pression une équation aux dimensions :

            P en    kg * m * s ^-2  * m ^-2    soit en   kg *  s ^-2 * m ^-1     

enfin ρ (masse volumique) en kilogrammes par mètres cubes : kg * m ^-3   

et 1 / ρ : kg ^-1 * m ³

Avec ces données,  cela devient:

                Q =   m * m * (2 ^ 0,5) * ({ kg *  s ^-2 * m ^-1} * {kg ^-1 * m ³ }) ^ 0,5

                    =   m ² *   (  m ² * s ^-2 ) ^ 0,5         (deux n'a pas de dimension)

                    =   m ² *  m   *   s ^-1 

                    =     m³ / s

   Le débit calculé avec ces unités sera exprimé en mètres cubes par seconde.

   La formule peut être écrite, en réduisant les valeurs fixes :

              Q [en m3/s]=  1,29 * l [en m]* e [en m]* ( P [en Pascals] )^ 0,5

ou encore :

              Q [en l/s] =  1,29 * (S [en mm2] /1000) * (( P [en Pascals] )^ 0,5 )         (formule A)

1.2  Calculatrice sur internet.

On trouve sur internet un calculateur de « débit d'air à travers un orifice »  issu des industriels de la ventilation : (http://www.tlv.com/global/FR/calculator/air-flow-rate-through-orifice.html)

Il ne prend en compte que des orifices circulaires, avec des bords sans épaisseur et sans obstacle voisin.  Toute dérogation à cela entraîne l'utilisation d'un « coefficient de décharge » diminuant le débit. Les résultats trouvés seront dont un maximum pour une section donnée.

La ou les formules utilisées sont différentes de celles utilisées ci-avant et font intervenir des notions de thermodynamique.

                                                                                              (Formule B)

La formule B proposée par les industriels sur internet inclus dans le calcul, par défaut, un coefficient de 0,7,pour les trous ronds, qui prend en compte le rétrécissement dynamique du flux d'air à la sortie du trou.

1 . 3  Les deux formules : la générique issue de donnée physiques, et celle proposée par les professionnels sur internet, donnent des valeurs identiques dès lors qu'on leur affecte le même coefficient.

 2 .  Nous nous proposons de constituer un moyen de mesure du débit des fentes, pour apprécier le coefficient qui convient dans ce cas.

2 . 1  Dispositif de mesure

 L'idée est d'apprécier la perte de charge dans un tuyau, quand un certain débit d'air (celui d'un trou circulaire ou d'une fente) le traverse.

Si on sait calculer le débit dans le cas d'un trou circulaire, on saura que pour une fente, quand la perte de charge dans le tuyau est identique, le débit est identique.

Schéma du montage

2.2  Mesure des pertes de charge dans différents tuyaux pour différents débits, calculés sur la base de trous circulaires.

On trouve les valeurs suivantes, sur la base de tuyaux de 1 m de longueur ( les diamètres indiqués sont les diamètres intérieurs ).

NB : Ces valeurs incluent les pertes de charges dues aux soupapes.

Il s'agit là des pertes de charges dans un tuyau rond, lisse, sans coudes  (tuyau  PVC « cristal »). Elles sont proportionnelles à sa longueur ;

On constate pour le tuyau Ø 5 mm une discontinuité dans les pertes de charges. Il s'agit du passage du régime laminaire au régime turbulent, à une vitesse de l'air ( v = débit / section du tuyau) de 22 à 25 m/s. En fait, cet écoulement turbulent est de nature à plafonner le débit qui transite , ce qui est attesté par la constatation que les pertes de charges augmentent moins vite que si l’écoulement restait laminaire. Les valeurs de pertes de charge concernées par cet effet n'ont pas été conservées.

On constate d'ailleurs le même phénomène pour le tuyau Ø 8 mm, au-delà d'une perte de charge de 6 mm CE., avec une vitesse de l'air à ce moment de 12,2 m/s

Les valeurs mesurées de ces pertes de charge sont reportées sur le graphique ci après, quadrant de droite, en fonction du diamètre du trou.

2 . 3  La relation entre débit transité et diamètre de trou rond dépend de la pression réellement présente en amont des fuites calibrées : soit la pression de la réserve moins les pertes de charges dans le tuyau dues aux débits concernés

La forme des fuites calibrées utilisées incite à utiliser pour ce calcul l'une ou l'autre formule, avec un coefficient de forme de 0,7.

Les valeurs des débits des trous ronds pour différentes pressions sont calculées et reportées sur le graphique ci après, quadrant de gauche ; le débit transité, en fonction du diamètre du trou, est représenté par une droite pour chaque pression amont.

Graphique :Relation entre le débit transité et la surface de trous calibrés.

2 . 4  Ce graphique étant établi pour des trous ronds, des essais sur des fuites calibrées en forme de fente, pour être comparables aux fentes de flûtes, sont effectués,.

Les essais  réalisés avec ces fuites calibrées provoquent bien sûr des pertes de charges dans les tuyaux du dispositif.

Ces pertes de charges reportées sur le graphique ci avant montre que, à perte de charge  équivalente - et donc à débit équivalent -, les surfaces des fentes sont inférieures à celles de trous ronds.

Ou autrement dit qu'une surface de fente donnée débite plus que la même surface de trou rond.

Le rapport entre les deux surfaces, issu des essais, s'établit à 1,4. environ, (toutefois avec beaucoup d'imprécision dans les mesures).

On peut donc conclure que le calcul du débit consommé par une flûte munie d'une fente telle que celles de nos orgues de Barbarie, peut se faire avec la formule A affectée d'un coefficient de forme de 0,98  ( 0,7 issu du calcul des trous ronds, multiplié par le rapport trouvé par les mesures 1,4 ):

                 Q [en l/s] =  1,29 x 0,98 * (S [en mm2] /1000) * (( P [en Pascals] )^ 0,5)   

Soit                     Q [en l/s] =  1,26 * (S [en mm2] /1000 )* (( P [en Pascals] )^ 0,5) 

2 . 5  Application aux flûtes

Chaque flûte de l'orgue de Barbarie BB29 est testée sur le dispositif, à la place des fuites calibrées.

Les petits écarts constatés peuvent être attribués à plusieurs causes, et notamment la précision des mesures, qui n'est pas suffisante dans notre dispositif, et la précision de réalisation des fentes, qui modifient le débit consommé par les flûtes.

Néanmoins, les comparaisons sont globalement correctes, et on peut considérer que la formule de calcul citée plus haut est validée.